09.变态跳台阶

2021-03-03
swordoffer

题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

详解

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下：
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2)表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
…
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明：

  1. 这里的f(n)代表的是n个台阶有一次1,2,…,n阶的跳法数。

  2. n=1时，只有1种跳法，f(1)=1

  3. n=2时，会有两种跳的方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题(1)，f(2)=f(2-1)+f(2-2)

  4. n=3时，会有三种跳的方式，1阶、2阶、3阶，那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1)；第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)。因此结论是f(3)=f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

  5. n=n时，会有n种跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论： f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+…+f(n-(n-1))+f(n-n) => f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n-1) //[式1]

  6. 由以上已经是一种结论，我们可以继续简化： f(n-1)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f((n-1)-1) = f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n-2) //[式2]

[式1]-[式2]
f(n) = f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n-1) f(n-1) = f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n-2)
f(n)-f(n-1)= f(n-1)
可以得出：
f(n) = 2 * f(n-1)

  1. 得出最终结论，在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总的跳法为：
      | 1, (n=0)
f(n) =| 1, (n=1)
      | 2 * f(n-1),(n>=2)

来源：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387?f=discussion

JS实现

function jumpFloorII(number) {
  // write code here
  if (number <= 0) {
    return 1;
  } else if (number === 1) {
    return 1;
  } else {
    return 2 * jumpFloorII(number - 1);
  }
}